<T->
          Matemtica
          Imenes & Lellis
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Mrcio Imenes
          Marcelo Lellis
                                
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 1 edio, So Paulo,
          2009, Editora Moderna Ltda.

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~, 
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
         Dados do livro em tinta
          
          (C) Luiz Mrcio Imenes,
          Marcelo Lellis 2009

          Coordenao editorial:
          Juliane Matsubara Barroso

          Coordenao de arte:
          Wilson Gazzoni Agostinho

          Coordenao de reviso:
          Elaine Cristina del Nero

          ISBN 978-85-16-06264-4  

          Todos os direitos reservados
           Editora Moderna Ltda.
          
          Rua Padre Adelino, 758 
          -- Belenzinho -- So Paulo
          -- SP -- Brasil -- 
          CEP 03303-904
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501 
          ~,www.moderna.com.br~,
          2011
<p> 
                               I
 Sumrio
 
 Terceira Parte

 Captulo 6

 ngulos, paralelas e
  polgonos :::::::::::::::: 245
 ngulos notveis e suas
  propriedades ::::::::::::: 245
 Soma das medidas dos
  ngulos internos de um
  tringulo :::::::::::::::: 285
 Soma das medidas dos
  ngulos internos de um
  polgono ::::::::::::::::: 302
 Ao --
  Mosaicos geomtricos :::: 314
 Classificando polgonos ::: 321
 Simetrias e propriedades
  dos quadrilteros :::::::: 346
 Um toque a mais --
  Quadrados, crculos e
  tringulos -- A arte de
  Luiz Sacilotto ::::::::: 363

<91>
<p>
<Tmat. i. & l. 8>
<T+245>
 Captulo 6

 ngulos, paralelas e polgonos

 ngulos notveis e suas
  propriedades

 ngulos opostos pelo vrtice

  As retas *s* e *t* se cruzam formando vrios ngulos. O que est assinalado em amarelo mede 37. O outro mede *x*. Qual  o valor de *x*? 

<F->
                   s 
                    i 
                   i  
                  i
                 i 
                i :x
 t ::::::::::::i::::::::::::
       37}   i
             i
            i
           i
          i  
<F+>

  Para responder, vamos fazer uma deduo.
  Observe que o ngulo vermelho mais o ngulo de 37, juntos, do um ngulo raso de 180.

<F->
Legenda: ngulo vermelho -- :vm

                   s 
                    i 
                   i  
                  i
                 i 
          :vm  i 
 t ::::::::::::i::::::::::::
       37}   i
             i
            i
           i
          i  
<F+>

  Da mesma forma, *x* mais a medida do ngulo vermelho tambm resultam 180.
  Logo x=37, porque tanto *x* quanto 37, somados com a medida do ngulo vermelho, do o mesmo resultado de 180.
<p>
<F->
Legenda: ngulo vermelho -- :vm

                   s 
                    i 
                   i  
                  i
                 i 
          :vm  i :x
 t ::::::::::::i::::::::::::
              i
             i
            i
           i
          i  
<F+>

<92>
  Esse raciocnio foi feito para um ngulo de 37, mas, na verdade, a medida no importa. O raciocnio vale para qualquer medida, isto , pode ser generalizado. Veja:
<p>
<F->
                     s 
                    i 
                   i  
                  i
                 i 
           :c  i :b
 t ::::::::::::i::::::::::::
          :a i
             i
            i
           i
<F+>

 a+c=180. Portanto, a=180-c.
 b+c=180. Portanto, b=180-c.
 Concluso: a=b.

  Os ngulos de medidas *a* e *b*, formados por duas retas que se cruzam, so chamados *ngulos opostos pelo vrtice*. Provamos que dois ngulos opostos pelo vrtice sempre so iguais.

<R+>
_`[{uma mulher passando roupa diz: "Nos ps desta mesa, os ngulos em laranja so opostos pelo vrtice e, por 
isso, so iguais. 
<p>
  Os dois ngulos em azul tam-
  bm"_`]

_`[{figura adaptada_`]
<R->
<F->
Legenda:
az: azul
la: laranja

  
       e             i
         e   :la  i
           e     i
             e i
      :az   ie :az
           i    e
         i  :la  e
       i            e
<F+>

 ngulos correspondentes

  Agora, temos retas *r* e *s*, paralelas entre si, que so cortadas por uma reta transversal *t*. H vrios ngulos na figura. Um 
deles, assinalado em verde, mede 
<p>
50. Outro, assinalado em amarelo mede *x*. Quanto vale *x*?

<F->
                r       s
   t             i       i
     e         i       i
       e     i       i 
   50}  e i       i
         i e     i
       i     e i
     i     x i e
   i       i     e
 i       i         e
<F+>

  Imagine que a reta *r* v se deslocando, mantendo-se paralela  posio inicial, carregando o ngulo verde consigo. Esse movimento se chama translao.
  A translao acaba superpondo as retas *r* e *s* e os ngulos verde e amarelo. Constatamos, assim, que esses ngulos so iguais. Logo x=50.
<93>
  Nas figuras anteriores, os ngulos assinalados em verde e amarelo so chamados *ngulos correspondentes*. Eles so iguais apenas 
quando formados por retas paralelas. Confira:

_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda:
 az: azul
 la: laranja

<F->
     t
       e
     az e
 r ::::::e::::::::::::::::
          e
        az e
 s :::::::::e:::::::::::::
             e
              e
<F+>

<R+>
As retas *r* e *s* so paralelas. Os ngulos correspondentes (azuis) so iguais.
<R->
<p>
<F->
                r
     t        i
       e    i 
     la e i
 r :::::ie::::::::::::::::
      i   e
    i   az e
 s :::::::::e:::::::::::::
             e
              e
<F+>

<R+>
A reta r no  paralela  *s*. Os ngulos correspondentes (azul e laranja) no so iguais.
<R->

 ngulos alternos internos

  Vamos ver outro notvel par de ngulos.
<p>
_`[{figura adaptada_`]
 Legenda:
 am: amarelo
 az: azul
<F->                     

          i           i
         i       :b i  
        i        am i
 t ::::i:::::::::::i::::::::
      i :a       i 
     i  az       i  
  r i           i s
<F+>

  De novo temos retas paralelas *r* e *s*, cortadas por uma reta transversal *t*. O ngulo azul e o ngulo amarelo tambm so iguais. Por qu?
  Imaginando de novo a translao da reta *r* que a faz cair sobre *s*, verificamos que os ngulos azul e amarelo se tornariam opostos pelo vrtice, que, como j sabemos, tm uma mesma medida. Logo, a=b.
<p>
  Os ngulos de medidas *a* e *b* so chamados *ngulos alternos internos*.
  ngulos correspondentes e ngulos alternos internos aparecem com muita frequncia nos problemas de geometria. Voc deve ser capaz 
de reconhec-los em diversas posies. Observe:

<F->
   t
    e       
      e :x   
 r :::::e:::::::::::
          e       i         
            e:y i
              e i   
               ie
            s i   e 
<F+>

<R+>
:x e :y so ngulos correspondentes, mas no so iguais, pois as retas *r* e *s* no so paralelas.
<R->
<p>
<F->
              t
               i
              i
 r ::::::::::i::::::::::::::: 
            i :c 
 r_ls      i    
          i 
 s ::::::i::::::::::::::::::
        i :d 
       i
<F+>

<R+>
:c e :d so ngulos correspondentes e iguais, pois r_ls.
<R->

<F->
  r              s _
   e               _
    e              _
     e :a         _ 
 t :::e::::::::::::_::::::::
       e       :b _
        e          _
         e         _ 
          e        _
<F+>

<R+>
:a e :b so ngulos alternos internos, mas no so iguais. 
<R->
<p>
<F->
              t
               i
              i
 u ::::::::::i:::::::::::::::
            i :g 
 u_lv      i    
      :h i 
 v ::::::i::::::::::::::::::
        i  
       i
<F+>

<R+>
:g e :h so ngulos alternos internos e so iguais, pois as retas *u* e *v* so paralelas.
<R->

<94>
 Sobre linguagem e smbolos
<R+>
  Um ngulo (objeto geomtrico)  diferente de sua medida (um nmero com uma unidade). Por isso, neste livro, representamos o ngulo por :a e a medida por *a*. No se preocupe se voc confundir os smbolos. Isso no deve levar a raciocnios incorretos.
  Dois ngulos de mesma medida, mas com vrtices ou lados diferentes (por exemplo, um vrtice no ponto A, outro no ponto B), so diferentes. Quando dizemos que esses ngulos so iguais, queremos dizer que tm medidas iguais. Nesse caso, tambm se diz que so congruentes.

 Conversando sobre o texto

 a) Os ngulos destacados na ilustrao _`[no adaptada_`] so opostos pelo vrtice?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 b) Explique, com suas palavras, o que so ngulos opostos pelo vrtice.
 c) Explique, com suas palavras, por que dois ngulos opostos pelo vrtice tm medidas iguais. Que significa dizer que essa  uma concluso geral?
<p>
 d) Para justificar essa concluso geral, usamos letras para representar as medidas dos ngulos, que so nmeros. Voc se lembra de alguma outra situao em que usamos letras para exprimir concluses gerais?
 e) Por que chamamos alguns ngulos de alternos internos? Explique esse nome. *Dica*: alternar quer dizer trocar, mudar...
 f) Dois ngulos correspondentes sempre so iguais? Dois ngulos alternos internos sempre so iguais? Explique as respostas com suas palavras.
 g) Conclumos que ngulos opostos pelo vrtice so iguais fazendo uma deduo. Voc consegue repetir essa deduo?
 h) Explique com suas palavras: o que  uma deduo?
 i) Josu est com 1,72 m de altura. Josu  um ser, uma pessoa, e 1,72 m  um nmero associado a ele: so coisas distintas, diferentes. D exemplos distinguindo um ser matemtico de um nmero associado a ele.

<95>
 Problemas e exerccios

 1. Na ilustrao, dois palitos de sorvete esto articulados por uma tachinha.  possvel girar os palitos, modificando os quatro 
ngulos que eles formam. Conhecendo a medida de um desses ngulos, podemos determinar as medidas dos outros.

_`[{figura adaptada_`]

<F->
   e        i
    e      i
     e:b i
      e  i 
    :c e :a
       i e
      i   e
     i :d e
    i       e  
<F+>  
<p>
  Copie a tabela em seu caderno e complete-a.

 !::::::::::::::::::::::::::
 l a    _ b     _ c      _ d   _
 r::::::w:::::::w::::::::w:::::w
 l '''  _ 104 _ '''    _ ''' _
 r::::::w:::::::w::::::::w:::::w
 l '''  _ '''   _ 32,5 _ ''' _
 r::::::w:::::::w::::::::w:::::w
 l 70 _ '''   _ '''    _ ''' _
 h::::::j:::::::j::::::::j:::::j

 2. J nesta outra ilustrao, podem-se movimentar dois palitos de sorvete de modo que fiquem paralelos ou no.
<p>
<F->
              i
             i 
            i :a
 ::::::::::i::::::::::::::
          i
         i
   :c  i :b    
 ::::::i:::::::::::::::::::
      i
     i 
    i
<F+>

 a) Suponha que os dois palitos sejam paralelos e que :c mea 110. Quais so as medidas de :a e de :b?
 b) Suponha, agora, que :a mea 75 e :b mea 74. Nessas condies, os palitos no so paralelos. Se esses palitos fossem suficientemente 
longos, eles se encontrariam do lado direito ou esquerdo da pgina?
<p>
 3. Nas figuras, as retas *f* e *g* so paralelas f_lg. Determine a medida *m*, nos seguintes casos:
 a)
<F->
               t
                i
               i 
              i 55}
 f ::::::::::i::::::::::::::
            i
           i
          i :m    
 g ::::::i:::::::::::::::::::
        i
       i 
      i
<F+>
<p>
 b) 
<F->
               t
                i
               i 
              i 
 f ::::::::::i::::::::::::::
       :m  i
           i
          i 74}    
 g ::::::i:::::::::::::::::::
        i
       i 
      i
<F+>

 c)
<F->
                 t
                i
               i 
              i 
 f ::::::::::i::::::::::::::
            i 80}
           i
          i     
 g ::::::i:::::::::::::::::::
   :m  i
       i 
      i
<F+>

 d)
<F->
                 t
                i
               i 
        33}  i 
 f ::::::::::i::::::::::::::
            i 
           i
          i     
 g ::::::i:::::::::::::::::::
        i :m
       i 
      i
<F+>

 4. As retas *a* e *b* so paralelas. Qual  a medida *x*?
<p>
 a_lb
<F->               
                i
               i 
              i 70}
 a ::::::::::i::::::::::::::
            i 
           i
          i :x
           e     
             e
               e  140}
  b :::::::::::::e::::::::::
                   e
                     e
                       e
<F+>

<96>
 Resoluo

  Neste caso,  preciso ir alm do que est desenhado na figura.

_`[{a professora diz: " preciso ver com a mente!"_`]

  Pelo vrtice de :x traamos a reta *c*, paralela s retas *a* e *b*. O ngulo :x fica, ento, decomposto nos ngulos :z e :y.

<F->               
                i
               i 
              i 70}
 a ::::::::::i::::::::::::::
            i 
           i :y
 c :::::::i:::::::::::::::::          
           e :z   
             e
        40}   e  140}
  b :::::::::::::e::::::::::
                   e
                     e
                       e
<F+>

  Como as retas *a* e *c* so paralelas, conclumos que y=70 (ngulos correspondentes). E como as retas *c* e *b* so paralelas, z=40 (ngulos alternos internos).
  Logo, como :x=:y+:z, conclumos que :x mede 70+40=110.

_`[{para as atividades 5 e 6, pea orientao ao professor_`]

 5. Obtenha a medida *x* do ngulo assinalado, nos seguintes casos.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 6. Vamos deduzir juntos as medidas de todos os ngulos internos do paralelogramo da figura, justificando o raciocnio passo a passo.

 r_ls e u_lv
<F->
            u                  v  
             i                  i
            i                  i
 r ::::::::i::::::::::::::::::i::   
          i :b          :c i
         i                  i
        i                  i
       i a=65}       :d i
 s :::i::::::::::::::::::i::::::
     i                  i       
    i                  i  
<F+>

  Para isso, copie  mo livre, em seu caderno, as figuras e as sentenas correspondentes, completando-as:
 a)
<F->
            u                  v  
             i                  i
            i :x              i
 r ::::::::i::::::::::::::::::i::   
          i :b              i
         i                  i
        i                  i
       i a=65}           i
 s :::i::::::::::::::::::i::::::
     i                  i       
    i                  i  
<F+>

  x=65}, porque :x e :a so ngulos ''' e r_ls. 
  b=''', porque b+x=''' 
<p>
 b)
<F->
            u                  v  
             i                  i
            i :x              i
 r ::::::::i::::::::::::::::::i::   
          i :b          :c i
         i                  i
        i                  i
       i a=65}           i
 s :::i::::::::::::::::::i::::::
     i                  i       
    i                  i  
<F+>

  c=''', porque :c e :x so ngulos ''' e u_lv.
<p>
 c) 
<F->
            u                  v  
             i                  i
            i                  i
 r ::::::::i::::::::::::::::::i::   
          i              :c i
         i                  i
        i                  i
       i              :d i
 s :::i::::::::::::::::::i::::::
     i              :y i       
    i                  i  
<F+>

  y=''', porque :y e :c so ngulos '''
  d=''', porque d+y='''

<97>
 7. Nesta figura, os ngulos :x e :y so chamados ngulos opostos do paralelogramo. Prove que esses ngulos opostos so iguais.
<p>
<F->                              
             i                  
            i :z                 
           i:::::::::::::::::::   
          i              :y i
         i                  i
        i                  i
       i :x              i
      i::::::::::::::::::i
<F+>

_`[{um aluno pergunta: "Provar que :x  igual a :y? Como? Medindo?". A professora responde: "No. Fazendo uma deduo. Pense em 
:x e :z. So iguais porque... Depois pense em :z e :y. Depois  s concluir!"_`]

 8. Obtenha as medidas dos ngulos assinalados:
<p>
r_ls
<F->
               r             s                 
             i             i
            i             i  
 2x-65}  i      x+20} i
   :::::::i:::::::::::::i::::::
         i             i 
        i             i  
       i             i 
<F+>

  *Dica*: como r_ls e os dois ngulos so correspondentes, sabemos que so iguais. Assim, podemos escrever a igualdade 2x-65=x+20, 
que  uma equao. Depois de achar o valor de *x*, voc poder encontrar a medida desses ngulos.

 Problemas e exerccios para casa

 9. Observe a figura e depois responda s questes.

_`[{figura no adaptada_`]
<p>
 a) Que nome tm os ngulos :?{d{a{e* e :?{e{f{g* (ambos em azul)?
 b) E os ngulos :?{b{a{c* (em verde) e :?{e{f{g* (em azul)?
 c) Como so chamados os ngulos :?{b{a{c* e :?{d{a{e*?
 d) :?{b{a{c* e :?{d{a{e* so ngulos iguais?
 e) :?{d{a{e* e :?{e{f{g* so ngulos iguais?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 10. As retas *a* e *b* so paralelas. Descubra as medidas *x* e *y*, nestes casos:
<p>
 a)
<F->
                i
               i 
              i 
 a ::::::::::i::::::::::::::
       37} i 
           i
      :y i :x    
 b ::::::i:::::::::::::::::::
        i 
       i 
      i
<F+>

 b)
<F->  
             i          i
            i          i  
           i          i :y  
   :::::::i::::::::::i::::::
     :x i          i 130}
        i          i  
       i          i 
      a          b
<F+>
<p>
 c)
<F->               
                i
               i 
              i 80}
 a ::::::::::i::::::::::::::
            i 
           i
          i :x
           e     
             e
               e  
  b :::::::::::::e::::::::::
                   e 40}
                     e
                       e
<F+>
<p>
 d)
<F->
         _       i
         _      i 
         _     i 33}
 a ::::::_::::i:::::::::::
         _   i 
      !::w  i
      l_-_ i :x
 b :::h::_i:::::::::::::::
        i_ 
       i _
      i  _
     i   _
    i :y_
   i     _
<F+>

<98>
 11. De incio, consulte o dicionrio para saber o que so *ngulos complementares* e o que so *ngulos suplementares*.
  Agora, analise as figuras:
<p>
<F->
               s 
                i
               i 
         :x  i :y
 r ::::::::::i::::::::::::::
            i 
           i
          i
         i  
                 
              l v
              l
      e       l
        e :b l
          e   r::
      :a   e l_-_
 u ::::::::::er::j:::::::::
              l
              l
              l
<F+>

  Copie e complete em seu caderno:
  Os ngulos :a e ''' so ''' Se :a mede 30, ento :b 
  mede '''
<p>
  Os ngulos :x e ''' so ''' Se o maior deles medir 140, o outro medir '''
 12. Examine a figura:

<F->
 r_ls
                i
               i 
              i :c 
 r ::::::::::i::::::::::::::
       :a  i :x 
           i 
          i
     :b i     
 s :::::i:::::::::::::::::::
       i :d 
      i 
     i
<F+>

  Vamos provar que os ngulos :a e :b so suplementares.
  De fato: a+x=180 e :x=:b (ngulos alternos internos, com r_ls).
  Portanto: a+b=180.
<p>
  Agora, raciocinando de maneira parecida, prove que :c e :d tambm so suplementares.

 13. Descubra as medidas *x* e *y* dos ngulos assinalados a seguir:
 a) {a{b{c{d  um trapzio; portanto, os lados {a{b e {c{d so paralelos.

<F->
  A                        B
  eccccccccccccccccccccccccc
   e :y              45} 
    e                     
     e                   
      e                 
       e 98}      :x 
        e:::::::::::::i 
         D          C 
<F+>
<p>
 b) {a{b{c{d  um retngulo.

<F->
 A                      B
  pcccccccccccccccccccccc
  l               :y  i _
  l                  i   _
  l               i 49} _
  l            i         _   
  l         i            _
  l      i               _
  l   i  :x             _
  vi---------------------#
 D                      C  
<F+>

 14. Faa o que  proposto.
 a) Desenhe  mo livre, em seu caderno, um paralelogramo {a{b{c{d. Marque no desenho que o ngulo :A mede 37.
 b) Calcule as medidas de :B, :C e :D.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<99>
<p>
 15. Usando equaes, determine as medidas dos ngulos assinalados com *x*.
  No primeiro caso, a *dica*  o problema 12; no segundo caso, a *dica*  o problema 7.
 a) r_ls

<F->
           t l 
       r e   l
          e  l
           e l 
            el
   10x+68} le 
             l e  
   s e       l  e
      e      l   e
       e 6x l    e
        e    l     e
         e   l      e
          e  l       e
           e l        e
            el         e
             e          e 
             le          e
             l e          e
<F+>

 b) A{b{c{d  um paralelogramo.

<F->
      A                    B 
       icccccccccccccccccccci
      i 11x               i
     i                    i    
    i                    i 
   i           9x+20} i
  i::::::::::::::::::::i 
  D                  C
<F+>

 16. Determine as medidas *x* e *y*. Mas ateno! No d apenas a resposta. Justifique seu raciocnio.
<p>
 a_lb e m_ln

<F->
      a        b 
       i        i
      i        i
     i        i    
    i        i 
   i :x    i :y
  i::::::::i:::::::::::: m
          i 
         i
        i 
       i
      i 62}
     i:::::::::::::::::: n 
<F+>

 17. Quanto mede o ngulo :B?

_`[{a menina observa um tringulo no quadro-de-giz e diz: "Ih..."; contedo a seguir_`]
<p>
<F->
       B 
       
        
         
          
           
  70}  52}
 ------------
 A           C 
<F+>

_`[{o professor diz: "Agora que eu tracei a paralela ao lado {a{c, voc descobre :B". A menina observa o desenho no quadro-de-
  -giz e fala: "Agora, sim!"; contedo a seguir_`]

<F->
       B
  ::::::::::::::: 
   :n  :m
        
         
          
           
  70}  52}
 ------------
 A           C 
<F+>

  Calcule primeiro as medidas de :m e :n e depois a de :B.
<R->

 Soma das medidas dos ngulos
  internos de um tringulo

  Some as medidas dos ngulos internos do tringulo do problema 17: voc obtm 180, certo? Voc j ouviu algum dizer que somando as medidas dos trs ngulos internos de *qualquer* tringulo se obtm 180? Talvez voc se lembre do volume da srie anterior desta obra, no qual h uma experincia para verificar esse fato.
  Entretanto, mesmo medindo ngulos em vrios tringulos ou fazendo experincias, sobra uma dvida. Afinal, h infinitos formatos de tringulos. No  estranho que em todos eles a soma das medidas dos ngulos d sempre o mesmo resultado?
  Para ter certeza desse fato, vamos raciocinar como no problema 17. Nele, calculamos a medida de um dos ngulos de um tringulo, conhecendo as medidas dos outros dois. Para isso, foi traada uma reta paralela a um dos lados. Vamos refazer esse raciocnio.
<100>
<R+>
  Considere um tringulo {a{b{c, no qual esto assinalados os ngulos internos.

<F->
        A
       ie
      i   e
     i :a  e  
    i         e
   i            e
  i :b      :c  e
 i::::::::::::::::::e
 B                C
<F+>

  Traamos a reta *u*, paralela ao lado {b{c, passando pelo vrtice A.
<p>
<F->
u_lB{c

        A    
 u ::::::::::::::::::::
   :p ie  :q
      i   e
     i :a  e  
    i         e
   i            e
  i :b      :c  e
 i::::::::::::::::::e
 B                C
<F+>
<R->

  Sabemos que p=b e q=c (medidas de ngulos alternos internos).
<R+>
  Como p+a+q=180, conclumos que b+a+c=180, ou seja, a+b+c=180.
<R->
  Essa concluso significa o seguinte: a soma das medidas dos ngulos internos de qualquer tringulo  180.
  No h mais como duvidar: o fato  vlido para todos os tringulos imaginveis!
<p>
<R+>
_`[{dilogo entre a aluna e a professora dividido em trs quadrinhos_`]
 1 quadrinho: A aluna pergunta: "Acho estranho! H infinitos tringulos diferentes. Como se pode tirar uma concluso vlida para todos?". 
A professora responde: " que raciocinamos com um tringulo genrico, que no tem nada especial. Podemos repetir exatamente o mesmo 
raciocnio para qualquer outro tringulo".
 2 quadrinho: A aluna fala: "Outra coisa estranha: tiramos uma concluso sobre medidas de ngulos e nem usamos transferidor!". 
A professora afirma: " isso a:  incrvel como podemos concluir sobre medidas, sem medir coisa alguma".
 3 quadrinho: A aluna exclama: "Acho isso muito doido!!!". A professora diz: "Pois , Matemtica  assim. Usando s nosso 
<p>
  raciocnio, fazendo dedues, podemos tirar concluses gerais e surpreendentes!".

<101>
 Conversando sobre o texto

 a) Qual  a concluso obtida sobre a soma das medidas dos ngulos internos dos tringulos?
 b) O que  um argumento? Responda com exemplos.
 c) Foi feita uma deduo para concluir que a soma das medidas dos ngulos internos de qualquer tringulo  180. Voc consegue repetir a deduo?
 d) Responda com suas palavras: o que  deduzir?
 e) Como se pode concluir algo que vale para todos os tringulos, se h infinitos tringulos diferentes?
 f) Comente a conversa entre professora e aluna nos quadrinhos do final do texto.
<p>
 Problemas e exerccios

 18. Num tringulo, dois ngulos medem, respectivamente, 25 e 108. Qual  a medida do terceiro ngulo?

 19. Usando uma equao, determine a medida dos trs ngulos de cada tringulo:
 a)

<F->
       ie
      i   e
     i 3x   e  
    i         e
   i            e
  i 2x        x   e
 i::::::::::::::::::e
<F+>

_`[{a professora diz: "Aqui, voc tem 3x mais 2x mais *x* igual a..."_`]
<p>
 b)
<F->
       ie
      i   e
     i      e  
    i x+10}  e
   i            e
  ix+20}      x  e 
 i::::::::::::::::::e
<F+>

 20. Determine a medida *x*:

<F->
       ie
      i   e
     i 60} e  
    i         e
   i            e
  i 80}     :c  e :x
 i::::::::::::::::::e:::::::::
<F+>

 21. Faa o que se pede.
 a) Prove que e=a+b. Para isso, siga estes passos:
<p>
<F->
       ie
      i   e
     i :b  e  
    i         e
   i            e
  i :a     :c   e :e
 i::::::::::::::::::e:::::::::
<F+>

 e=180-'''
 a+b+c='''
 a+b='''
 Concluso: '''

 b) Escreva em seu caderno, com suas palavras, o que significa a igualdade do item anterior. Para ajudar, damos uma informao: 
o ngulo em amarelo :e chama-se *ngulo externo* do tringulo.
<p>
 c) Agora, observe esta figura:

<F->
       ie
      i   e
     i 5x  e  
    i         e
   i            e
  i 2x           e 140}
 i::::::::::::::::::e:::::::::
<F+>

  Use a frmula do item a) e descubra as medidas dos ngulos internos desse tringulo.

 Procure no dicionrio: ngulo externo de um polgono.

<102>
 22. Recordando: todo tringulo issceles tem um eixo de simetria. Sabendo que nesse tringulo issceles o ngulo :A mede 50, quais 
so as medidas de :B e :C? (Ateno: no adianta medir. A figura  s um esquema. Voc tem de calcular.) 

<F->
        eixo de simetria
              l   
              l
           A l
             l
             l 
             l  
             l   
             l    
             l       
             l      
          !::r::    
          l_-l_-_     
 B ------v--v--#------ C
              l
              l
<F+>

_`[{para as atividades 23 e 24, pea orientao ao professor_`]

 23. Quanto mede cada ngulo interno de um pentgono regular?

 Resoluo

  Para construir um pentgono regular, basta dividir uma circun-
<p>
  ferncia em cinco partes iguais, lembra-se?

_`[{figura no adaptada_`]

  O ngulo central :?{a{o{b* mede 3605=72.
  O tringulo {a{o{b  issceles, pois {o{a e {o{b, sendo raios da circunferncia, so iguais. Veja:

<F->        
             O  
             
              
               
           72} 
                 
                    
                   
                    
      :a        :a 
 A ------------------- B
<F+>

  Temos, ento, a equao: 72+a+a=180 da qual obtemos a=54.
<p>
  O ngulo interno do pentgono mede 2a, isto , 108.

 24. Use o mesmssimo raciocnio do exerccio anterior e calcule a medida do ngulo interno de um hexgono regular.

 Problemas e exerccios para casa

 25. Quanto mede cada ngulo de:
 a) um tringulo regular?
 b) um tringulo issceles que tem um ngulo de 90?
 c) um tringulo issceles em que um dos ngulos mede 70?

_`[{a professora fala: "Ateno: no item c), h duas possibilidades"_`]
<p>
 26. Descubra as medidas dos ngulos assinalados com *x*:
 a)

<F->        
       ie
      i   e
     i 4x  e  
    i         e
   i            e
  i 3x      2x  e 
 i::::::::::::::::::e
<F+>

 b)
<F->
          i  
         i
        i 80}
       ie
      i   e
     i      e  
    i         e
   i            e
  i 4x      6x  e 
 i::::::::::::::::::e
<F+>
<p>
 c)
<F->        
       ie
      i   e
     ix+1} e  
    i         e
   i            e
  i x      x-1}  e 
 i::::::::::::::::::e
<F+>

 d)
<F->
                 i 
                i
               i 90}
              ie
             i   e
            i      e  
           i         e
          i            e
  125}  i            x  e 
 :::::::i::::::::::::::::::e
<F+>

<103>
 27. Classifique cada proposio como verdadeira ou falsa:
 a) Um tringulo pode ter os trs ngulos iguais a 70.
 b) Um tringulo pode ter dois ngulos iguais a 89 cada um.
<p>
 c) Um tringulo pode ter dois ngulos obtusos.
 d) Um tringulo sempre tem um *ngulo obtuso*.
 e) Um tringulo no pode ter os trs ngulos menores do que 60.
 f) Um tringulo pode ter os trs ngulos maiores do que 60.
 g) Um tringulo pode ter um ngulo reto e outro obtuso.
 h) Se um tringulo tem um ngulo reto, os outros dois so obrigatoriamente *ngulos complementares*.

 Procure no dicionrio: ngulo obtuso, ngulos complementares.

_`[{para as atividades de 28 a 31, pea orientao ao professor_`]

 28. Calcule a medida *x* do ngulo _`[no adaptado_`].
<p>
 29. Muitas logomarcas so construdas com figuras geomtricas simples, regulares.

_`[{figura no adaptada_`]

  Essa logomarca foi construda a partir deste esquema _`[no adaptado_`].
  Com essas informaes, determine as medidas dos ngulos dos tringulos amarelos da logomarca.
 30. Descubra a medida *x* em cada figura _`[no adaptada_`].

 31. Faa o que se pede.
 a) Usando rgua e esquadro, execute esta construo _`[no adaptada_`].
 b) Fazendo a construo *exatamente* como foi proposto, voc traou retas perpendiculares. Note que a primeira reta traada forma 
ngulo de 30 com a rgua, devido ao esquadro escolhido. Explique: por que so 
<p>
  perpendiculares as duas retas traadas?

 32. Na figura, *a*, *b*, *c* so as medidas dos ngulos internos do tringulo e *x*, *y*, *z* so as medidas de seus ngulos 
externos.

<F->
          e
            e
           x e  
              ie
             i   e
            i a    e  
           i         e
          i            e
         i b         c   e z
        i::::::::::::::::::e:::::
       i y
      i
     i
<F+>

 a) A igualdade a+x=180  verdadeira?
 b) H outros pares de ngulos suplementares na figura?
 c) Quanto d a soma x+a+y+b+z+c?
 d) A partir da resposta anterior, prove que x+y+z=360.
<R->

<104>
 Soma das medidas dos ngulos
  internos de um polgono

<R+>
_`[{figura adaptada_`]
 Dez elefantes, um ao lado do outro, cada um com um tapete no lombo com as letras da palavra MATEMTICA, dizem: "A Matemtica  assim... 
uma coisa puxa a outra. De uma propriedade, conclumos outra. Dessa deduzimos outra ainda... e outra... e outra... e outra... e outra... 
e outra..."
<R->

  Vamos ver um exemplo do que dizem os elefantes.
  Vimos que retas paralelas determinam ngulos alternos internos iguais.
<p>
<F->
Se r_ls, ento :a=:b.
 
                i
               i 
              i 
 r ::::::::::i::::::::::::::
       :a  i 
           i 
          i  :b   
 s ::::::i:::::::::::::::::
       i 
      i 
<F+>

  Usando essa propriedade das retas paralelas, deduzimos outra sobre os ngulos internos dos tringulos.
<p>
<F->
r_lB{c

       A
  ::::::::::::::: 
        
        
     :a 
          
           
  :b   :c 
 ------------
 B           C 
<F+>

 a+b+c=180

  Agora, usando essa propriedade dos tringulos, podemos tirar uma nova concluso sobre a soma das medidas dos ngulos internos de um quadriltero. Acompanhe.
<p>
<F->
 !::::::::::::::::
 l                _
 l                _
 l                _
 l                _
 l                _
 l                _
 l                _
 l                _
 h::::::::::::::::j
<F+>

  Esse quadriltero nada tem de especial. Ele representa qualquer quadriltero. Vamos traar uma de suas diagonais, dividindo-o em dois tringulos.
  A soma das medidas dos ngulos amarelos  180. A soma das medidas dos ngulos vermelhos tambm  180. Concluso: as medidas dos quatro ngulos do quadriltero somam 360.
<p>
 Legenda:
 ngulo amarelo: *x*
 ngulo vermelho: *y*

<F->
 !::::::::::::::::
 l x         x  ^_
 l               _
 l             y _
 l               _
 l               _
 l x             _
 l               _
 l  y          y _
 h::::::::::::::::j
<F+>

<105>
  Percebeu? Da propriedade dos ngulos do tringulo, deduzimos uma nova propriedade sobre os ngulos dos quadrilteros. E podemos continuar, deduzindo agora uma propriedade sobre os pentgonos.
<p>
<F->
       ie
     i    e
   i        e
 i            e 
 l            i
 l           i
 l          i
 l         i 
 h::::::::i
<F+>

  Esse  um pentgono qualquer. Traando diagonais a partir de um vrtice, podemos dividi-lo em trs tringulos.
  Concluso: a soma das medidas dos ngulos do pentgono  180+180+180, ou seja, 540.
  Voc viu! De uma propriedade deduzimos outra, e depois outra, e assim por diante. Na Matemtica, essas propriedades que deduzimos 
so chamadas *teoremas*. Um exemplo de teorema : "A soma das medidas dos ngulos de qualquer quadriltero  360". Outro 
<p>
exemplo de teorema  o que deduzimos sobre a soma dos ngulos do pentgono.

<R+>
_`[{um elefante afirma: "Ento, o prximo teorema  sobre o hexgono". O outro fala: "Bem pensado!". Com isso, o primeiro elefante 
diz: "S h um problema. Depois do polgono de 6 lados vem o de 7, depois o de 8, e isso no acaba nunca!"_`]
<R->

  Esses elefantes revelam excelente compreenso da Matemtica! No entanto, no ser necessrio deduzir teoremas sobre soma de medidas de ngulos para cada polgono, se fizermos uma generalizao, isto , se obtivermos uma frmula vlida para todos os polgonos. Ser que isso  possvel?
   possvel sim, como voc ver na prxima seo Problemas e exerccios.
<p>
<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Segundo o texto, na Matemtica uma coisa puxa outra. O que isso quer dizer?
 b) Voc consegue repetir a sequncia de teoremas que aparece no texto?
 c) Explique com suas palavras: o que quer dizer teorema?
 d) Como se encontrou a soma das medidas dos ngulos de um pentgono?
 e) Explique como achar a soma das medidas dos ngulos de um hexgono. No  preciso chegar ao resultado; apenas relate a ideia.
 f) Como se poderia achar a soma no caso de um polgono de 10 lados?
 g) Voc acha que existe uma frmula que d a soma das medidas dos ngulos de qualquer polgono?

<106>
<p>
 Problemas e exerccios

 33. Faa o que se pede.
 a) Calcule a soma das medidas dos ngulos do hexgono da figura _`[no adaptada_`].
 b) Desenhe um polgono de 7 lados e divida-o em tringulos, da maneira que fizemos com o hexgono.
 c) Quanto  a soma das medidas dos ngulos do polgono de 7 lados?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 34. Dividindo polgonos em tringulos (como no exerccio anterior), pode-se obter sempre a soma das medidas de seus ngulos. Usando 
essa ideia, copie e complete a tabela em seu caderno. 
  (Ateno: *n*  o nmero de lados do polgono, *t*  o nmero de tringulos em que o polgono foi dividido e *s*  a soma das medidas de seus ngulos internos.)

 !::::::::::::::::
 l n  _ t   _ s     _
 r::::w:::::w:::::::w
 l 3 _ 1  _ 180} _
 r::::w:::::w:::::::w
 l 4 _ 2  _ 360} _
 r::::w:::::w:::::::w
 l 5 _ ... _ ...   _
 r::::w:::::w:::::::w
 l 6 _ ... _ ...   _
 r::::w:::::w:::::::w
 l 7 _ ... _ ...   _
 r::::w:::::w:::::::w
 l 8 _ ... _ ...   _
 h::::j:::::j:::::::j

 35. Faa o que se pede.
 a) Imagine um polgono de 100 lados. Que contas devem ser feitas, partindo do nmero 100, para se chegar  soma das medidas de seus 
ngulos internos? Dica: nos problemas anteriores, voc deve ter observado um padro que o ajudar a responder a essa pergunta.
 b) Imagine agora um polgono de *n* lados. Diga qual destas frmulas d a soma das medidas de seus ngulos:
 S=180.n-2
 S=180.n
 S=180-2.n
 S=n-2.180

 36. Faa o que se pede.
 a) Usando a frmula obtida no exerccio anterior, calcule a soma das medidas dos ngulos de um dodecgono (polgono de 12 lados).
 b) Calcule a medida de cada ngulo interno do dodecgono, se ele for regular. *Dica*: no item a), voc obteve a soma das medidas de 
todos os ngulos; se todas essas medidas forem iguais, para achar uma delas voc...
<p>
_`[{para as atividades 37 e 38, pea orientao ao professor_`]

 37. Trs hexgonos regulares encaixam-se perfeitamente.

_`[{figura no adaptada_`]

  Os trs ngulos de vrtice O somam 360 (ngulo de uma volta). Isso acontece porque cada ngulo do hexgono mede 120.
  Trs pentgonos regulares no se encaixam. Quanto mede o ngulo assinalado em verde?

_`[{figura no adaptada_`]

 38. A figura _`[no adaptada_`] mostra uma parte de um polgono regular cujos ngulos externos medem 45. Quantos lados tem o polgono? Explique sua resposta.
<R->

<107>
<p>
 Ao

<R+>
_`[{para a atividade a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

 Mosaicos geomtricos

  Nos mosaicos com polgonos, h uma regra bsica. As medidas dos ngulos em torno de cada vrtice precisam somar 180. Veja, por exemplo, a montagem com hexgono e quadrados. Ser possvel comear um mosaico com essa montagem? Cada ngulo interno do quadrado mede 90 e cada ngulo do hexgono mede 120.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Logo, a abertura em roxo mede: 360-90-120-90=60.
  Isso significa que naqueles vos cabem tringulos regulares, ou seja, que  possvel construir este mosaico _`[no adaptado_`].
  Os mosaicos podem ser observados na cobertura de pisos e na decorao de paredes e outras superfcies. Faa voc tambm um mosaico geomtrico, usando a folha com moldes de polgonos.

 Um jeito de fazer

  Colando sobre cartolina a folha com os polgonos e recortando-os depois, voc ter ladrilhos de cartolina que serviro como moldes para reproduzir cada polgono quantas vezes quiser.
  Na criao do mosaico, depois de escolher uma das sugestes a seguir, voc deve encaixar os polgonos, preenchendo uma folha toda. Depois, pinte como quiser.

 Sugesto de mosaicos

<R+>
  Voc pode reproduzir o mosaico anterior formado por quadrados, tringulos e hexgonos.
<108>
  Se preferir, faa outro combinando octgonos regulares e mais 
<p>
  um polgono regular adequado (descubra qual ).
  Pentgonos regulares, sozinhos, no cobrem o plano. Mas  possvel compor um mosaico com eles e os vos deixados por eles. Tais vos constituem um outro polgono. Qual?
  Tambm se consegue fazer um mosaico usando apenas o quadriltero irregular da folha com moldes. Em cada vrtice desse mosaico, devem aparecer os quatro ngulos internos do quadriltero que, como se viu, tm soma igual a 360.

 Problemas e exerccios para casa

 39. Qual  a soma das medidas dos ngulos internos de um polgono com 20 lados?
 40. A tabela a seguir refere-se aos polgonos regulares: *n*  o nmero de lados; *s*  a soma das medidas dos ngulos internos; *i*  
a medida de cada n-
<p>
  gulo interno; *e*  a medida de cada ngulo externo.

<F->
             i
            i  
           i :e
 e        iccccccccceccccccccccc
  e      i:i    :i e :e
   e:e i             e
    e  i               e 
     ei :i         :i e
      e                  i
       e                i e
        e              i   e
         e            i :e e
    :e   e:i    :ii       e
  :::::::::e::::::::i     
              :e  i
                  i
                 i
<F+>

No hexgono regular, e=60 e i=120.

  Copie e complete a tabela em seu caderno. (Ateno: nem todos os valores so nmeros naturais. Se for preciso, d valores aproximados.)

 !::::::::::::::::::::::::
 l n  _ s     _ :i   _ :e  _
 r::::w:::::::w:::::::w::::::w
 l 3 _ 180} _ 60}  _ ...  _
 r::::w:::::::w:::::::w::::::w
 l 4 _ ...   _ ...   _ ...  _
 r::::w:::::::w:::::::w::::::w
 l 5 _ ...   _ ...   _ ...  _
 r::::w:::::::w:::::::w::::::w
 l 6 _ 720} _ 120} _ 60} _
 r::::w:::::::w:::::::w::::::w
 l 7 _ ...   _ ...   _ ...  _
 r::::w:::::::w:::::::w::::::w
 l 8 _ ...   _ ...   _ ...  _
 h::::j:::::::j:::::::j::::::j

 41. Na tabela que voc completou:
 a) Se *n* aumenta 1, quanto aumenta *s*?
 b) Se *n* aumenta 1, *i* aumenta sempre o mesmo nmero de graus?
 c) Se *n* aumenta 1, *e* aumenta ou diminui?
 d) Existe algum polgono regular em que *i* mede 138? Por qu?
 e) Existe algum polgono em que i=e?
 f) Para quais polgonos tem-se 
  *i* > *e*? (Voc lembra o que significa o *smbolo* >?)
 g) Quantos lados deve ter um polgono regular para que se tenha *i* >120?

 Procure no dicionrio: smbolo.

 42. A moldura e o espelho _`[no adaptados_`] tm a forma do octgono regular. As 8 partes da moldura so trapzios iguais entre si. 
Quais so as medidas dos ngulos desses trapzios?
<109>
 43. Ateno! Este  um desafio.
  Existe algum polgono regular em que os ngulos internos medem 156 cada um? Se existe, quantos lados tem esse polgono? (*Dica*: H vrias maneiras de resolver o problema. Sugerimos esta: se o polgono existe e tem *n* lados, ento 156.n  igual  soma das medidas de todos os ngulos. Mas essa soma tambm  igual 180n-2. Escrevendo uma igualdade, voc ter a equao que resolve o problema.)

 44. Todo ano, os habitantes de So Manuel, uma cidade paulista, enfeitam as ruas para a procisso de Corpus Christi. Numa dessas 
ocasies, vrias ruas foram decoradas com mosaicos geomtricos. Este, que se v na foto _`[no adaptada_`],  composto por losangos 
brancos e paralelogramos vermelhos. Devido  perspectiva, no parece, mas os losangos so todos iguais e os paralelogramos tambm 
so iguais.
 a) Faa um desenho  mo livre de um trecho do mosaico, de maneira que perceba que os losangos so todos de mesmo tamanho. 
<p>
 b) Quais so as medidas dos ngulos desses losangos?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

 Classificando polgonos

  Classificar  separar em grupos mediante algum critrio. Voc j sabe que as formas geomtricas podem ser classificadas em planas 
ou no planas: polgonos e crculos so figuras planas; cones e prismas, que no cabem num plano, so formas espaciais. O critrio 
para essa classificao  ser possvel a figura estar ou no estar contida num plano.
  Dentre as figuras planas, os polgonos so muito importantes. Por isso, as figuras planas podem ser separadas em dois grupos: em 
um deles, esto os polgonos; 
<p>
no outro, esto todas as outras figuras planas, isto , os no polgonos.

_`[{figuras no adaptadas_`]

  Os polgonos costumam ser classificados a partir de critrios variados. Por exemplo, podem ser classificados de acordo com o nmero 
de lados em tringulos, quadrilteros, pentgonos etc.
<110>
  Outra maneira importante de classificar polgonos leva em conta os seguintes critrios:
<R+>
 1) Ter ou no ter lados com uma mesma medida.
   Alguns polgonos tm todos os lados iguais. So equilteros.

_`[{figura: losango, hexgono, tri-
  ngulo, pentgono, quadrado e octgono_`]
<p>
  Outros no so equilteros.

_`[{figuras: tringulo, retngulo e hexgono_`]

 2) Ter ou no ter ngulos com uma mesma medida.
  Alguns polgonos tm todos os ngulos iguais. So equingulos.

_`[{figuras: quadrado, pentgono, octgono, tringulo e retngulo_`]

  Outros no so equingulos.

_`[{figuras: tringulo retngulo, losango e pentgono_`]

  H polgonos que so equilteros e equingulos. So os polgonos regulares.

_`[{figuras: quadrado, hexgono, pentgono e tringulo_`]
<R->

  A seguir, veja um modo de visualizar essa classificao dos polgonos por meio de desenhos. Parecem mapas.

<111>
<R+>
 Este  o pas onde moram os polgonos.

_`[{figura adaptada_`]

<F->
P
!::::::::::::
l            _
l            _
l            _
l            _
l            _
l            _
h::::::::::::j
<F+>

 Na regio A, esto os polgonos equilteros, isto , aqueles que tm os lados iguais.
<p>
_`[{figura adaptada_`]

<F->
P
!::::::::::::
l            _
l !:::::    _
l l     _    _
l lA   _    _
l h:::::j    _
l            _
h::::::::::::j
<F+>

 Na regio B, esto os polgonos equingulos, ou seja, os que tm os ngulos iguais.
<p>
_`[{figura adaptada_`]

<F->
P
!::::::::::::::::
l !::::::       _
l l      _       _
l l A !:w::::  _
l l    l _    _  _
l h::::r:j B _  _
l      l      _  _
l      h::::::j  _
h::::::::::::::::j
<F+>

 Os polgonos que esto na regio comum a A e a B so equilteros e equingulos. Portanto, so polgonos regulares.
<p>
_`[{figura adaptada_`]

<F->
P
!::::::::::::::::
l !::::::       _
l l      _       _
l l A !:w::::  _
l l    l_    _  _
l h::::r:j B _  _
l      l      _  _
l      h::::::j  _
h::::::::::::::::j
<F+>
<R->

  Vimos maneiras de classificar polgonos. Agora, vamos ver uma classificao dos quadrilteros, que so um tipo particular de polgono. Eles merecem classificao especial por constiturem uma forma muito comum entre as coisas produzidas pelos seres humanos.
  Nesta classificao, os critrios usados so:
<R+>
 1) paralelismo dos lados;
 2) comprimento dos lados (terem medidas iguais ou no);
<p>
 3) igualdade dos ngulos (terem medidas iguais ou no). Note que, em quadrilteros, se os ngulos tm mesma medida, eles tm de ser retos, certo?
<R->
  Para voc entender essa classificao, vamos aplic-la ao grupo de quadrilteros da ilustrao 
 _`[no adaptada_`].
  Primeiro, destacamos os quadrilteros que tm dois pares de lados paralelos. Esses so os paralelogramos, que incluem retngulos, quadrados e losangos.
<112>
  No grupo dos paralelogramos, destacamos dois tipos: os que tm ngulos iguais (todos retos) e os que tm lados iguais. Observe o cdigo para indicar lados iguais.

<R+>
_`[{figura no adaptada_`]
<R->

  Veja que alguns paralelogramos de nosso desenho pertencem aos dois tipos. So os quadrados. Tendo feito essa classificao, 
<p>
podemos *definir* os quadrilteros mais conhecidos.
<R+>
  Paralelogramo  todo quadriltero que tem os dois pares de lados opostos paralelos.
  Retngulo  todo paralelogramo que tem ngulos retos.
  Losango  todo paralelogramo que tem lados iguais.
  Quadrado  todo losango que  retngulo.
<R->

 Procure no dicionrio: definio.

  Ser que voc consegue imaginar o mapa que representa essa classificao? Isso vamos ver na seo Problemas e exerccios.

<R+>
 Conversando sobre o texto

 a) Explique, com suas palavras, o que  classificar.
 b) Os animais vertebrados so classificados em cinco grupos. Voc sabe quais so?
<p>
 c) Explique, com suas palavras, o que so figuras planas e figuras espaciais. D exemplos de ambas.
 d) Diga como voc entende esta frase: cones e prismas no cabem no plano.
 e) Explique o que so polgonos.
 f) Que significa a palavra equiltero? E equingulo?
 g) D exemplo de polgono equiltero, de 4 lados, mas no equingulo. Agora um outro polgono, tambm com 4 lados, que  equingulo, mas no equiltero.
 h) Nos diagramas para visualizar a classificao de polgonos, h uma referncia ao pas dos polgonos. Por que foram usadas as aspas?
 i) De acordo com as definies dadas, todo quadrado  retngulo? E todo retngulo  quadrado?

<113> 
<p>
 Problemas e exerccios

 45. Observe o diagrama, a legenda e os polgonos _`[no adaptados_`].

_`[{diagrama adaptado seguido por sua legenda_`]
 Legenda:
 be: bege
 am: amarela
 az: azul
 vd: verde

<F->
be
!:::::::::::::::::
l !:::::::       _
l l       _       _
l l am !::w::::  _
l l    lvd_    _  _
l h::::r::j az _  _
l      l       _  _
l      h:::::::j  _
h:::::::::::::::::j
<F+>

 Bege: polgonos no equilteros e no equingulos.
 Amarela: polgonos equilteros, mas no equingulos.
 Azul: polgonos equingulos, mas no equilteros.
 Verde: polgonos regulares (equilteros e equingulos).

  O polgono A tem lados iguais, mas no tem ngulos iguais. Portanto, A pertence  regio amarela. J o polgono B  da regio bege. 
Prossiga associando os polgonos s regies.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 46. Classifique cada afirmao como falsa ou verdadeira:
 a) Todo polgono equiltero  obrigatoriamente equingulo.
 b) Um polgono equiltero pode ser tambm equingulo.
 c) Todo polgono equingulo  regular.
 d) Todo polgono regular  equingulo.
 e) Um polgono no regular pode ter os lados iguais.
 f) Um polgono no regular pode ter todos os lados iguais e todos os ngulos iguais.
 g) Para um polgono ser regular  necessrio que ele seja equiltero.
 h) Para um polgono ser regular  suficiente que ele seja equiltero.

 47. Observe os quadrilteros 
  _`[no adaptados_`].
  Das definies apresentadas no texto decorre que o quadriltero I, que  um retngulo, tambm  um paralelogramo. Afinal, ele tem 
dois pares de lados opostos paralelos. Com base nessas ideias, classifique cada afirmao como verdadeira ou falsa:
 a) I  quadrado.
 b) II  paralelogramo.
 c) II  losango.
 d) III  paralelogramo.
 e) IV  retngulo.
 f) IV  quadrado.
 g) V  losango.
 h) V  paralelogramo.
 i) V  retngulo.
 j) VI  quadriltero.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<114>
 48. Sejam P a regio dos paralelogramos, L a regio dos losangos, R a regio dos retngulos e Q a regio dos quadrados.
  De acordo com as definies j vistas, qual  o diagrama correto: I, II ou III? Explique sua resposta.
<p>
<F->
I)
P
!:::::::::::::
l R    L    _
l !::: !::: _
l l   _ l   _ _
l l   _ l   _ _
l h:::j h:::j _
l             _
l    Q       _
l    !:::    _
l    l   _    _
l    l   _    _
l    h:::j    _
h:::::::::::::j
<p>
II)
P
!:::::::::::::::
lR             _
l !::::::::::: _
l lL         _ _
l l !::::::  _ _
l l lQ    _  _ _
l l l !:: _  _ _
l l l l  _ _  _ _
l l l h::j _  _ _
l l l      _  _ _
l l h::::::j  _ _
l l           _ _
l h:::::::::::j _
l               _
h:::::::::::::::j
<p>
III)
P
!:::::::::::::::::
l !:::::::       _
l l       _       _
l l R !::w::::  _
l l    lQ_    _  _
l h::::r::j L _  _
l      l       _  _
l      h:::::::j  _
h:::::::::::::::::j
<F+>

 Problemas e exerccios para casa

 49. A reta *r*, paralela a um dos lados do hexgono regular I, divide-o em duas partes, II e III.

<F->
   cccc
        
         
    I   
        
   ----
<p>
    ccccc
          
ccccccccccccc r
             
            
           
          
    -----

    ccccc
    III 
  ---------  

 ccccccccccc  
            
     II  
          
    -----
<F+>

 Responda:
 a) Quais so as medidas dos ngulos do hexgono I?
 b) Quais so as medidas dos ngulos do hexgono II?
 c) O hexgono II  regular?
 d) Um hexgono equingulo tem de ter todos os lados iguais?
<p>
 e) Todo hexgono regular  equingulo?
 f) Todo hexgono equingulo  regular?

 50. Pode-se construir um pentgono com palitos de sorvete e percevejos:
  Este  regular:

<F->
A
      o
      
       
        
         
          
           
o          o
           
          
         
        
    o::o
<F+>
<p>
  Mas, se puxarmos no sentido das setas, ele se deforma.

<F->
B
  o:::::::o
   l         
   l          
 <:l           o :>
   l          
   l         
  o:::::::o
<F+>

 Responda:
 a) O pentgono A  equiltero?
 b) O pentgono B tem todos os lados iguais?
 c) O pentgono B  regular?
 d) Um pentgono pode ser equiltero, mas no equingulo?
 e) Todo pentgono regular  equiltero?
 f) Todo pentgono equiltero  regular?

 51. Classifique cada afirmao como verdadeira ou falsa:
 a) Todo retngulo  paralelogramo.
 b) Todo paralelogramo  retngulo.
 c) Todo quadrado  losango.
 d) Todo quadrado  quadriltero.
 e) Todo retngulo  quadrado.
 f) Alguns retngulos so quadrados.

 52. Escreva em seu caderno quatro afirmaes sobre os quadrilteros. Como as do exerccio anterior, cada uma deve ser classificada como verdadeira ou falsa.

 53. No captulo 3 deste livro, voc fez algumas construes de figuras geomtricas com rgua e compasso. Talvez tenha percebido que, quando as medidas dos lados de um tringulo esto determinadas (digamos, 6 cm, 4 cm e 7 cm), todos constroem tringulos iguaizinhos. No  possvel manter as medidas dos lados e mudar as medidas dos n-
<p>
  gulos. Mas isso no se verifica com os quadrilteros. 
<115>
  Esse fato pode ser mostrado na prtica fazendo um tringulo e um quadriltero com palitos de sorvete e percevejos:

_`[{as setas so representadas de acordo com a legenda a seguir_`]
 Legenda:
 ~ -- seta diagonal para cima
 , -- seta diagonal para baixo
 _a -- seta para cima
 _' -- seta para baixo

<F->
         ~
  o::::o
   l    _
   l    _
  o::::o
,
<p>
    _a
    o
     
      
       
o::::::o
    _'
<F+>

 Responda:
 a) Puxando no sentido das setas, o tringulo se deforma?
 b) Puxando no sentido das setas, o quadriltero se deforma?
 c) Todo quadriltero equiltero  regular?
 d) Todo tringulo equiltero  regular?
 e) O quadriltero equiltero chama-se losango. Losango  sinnimo de quadrado?
 f) Tringulo equiltero  sinnimo de tringulo regular?
<p>
 54. Observe os *tringulos* (medidas em mm):

_`[{cinco tringulos adaptados; medidas a seguir_`]
 I: lados -- 15, 20 e 25
 II: dois lados iguais de 15
 III: lados -- 11, 24 e 30
 IV: trs lados iguais a 16
 V: lados -- 8, 32 e 32

  No caderno, copie e complete a tabela:

_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Tringulos
 2 coluna: *Equiltero*
 3 coluna: *Issceles*
 4 coluna: *Escaleno*
<p>
 !::::::::::::::::::::::
 l 1   _ 2 _ 3 _ 4 _
 r:::::::w:::::w:::::w:::::w
 l I    _ no _ ... _ ... _
 r:::::::w:::::w:::::w:::::w
 l II  _ ... _ ... _ no _
 r:::::::w:::::w:::::w:::::w
 l III _ ... _ ... _ ... _
 r:::::::w:::::w:::::w:::::w
 l IV  _ ... _ sim _ ... _
 r:::::::w:::::w:::::w:::::w
 l V    _ no _ ... _ ... _
 h:::::::j:::::j:::::j:::::j

 Procure no dicionrio: tringulo equiltero, tringulo issceles, tringulo escaleno.

 55. Classifique como verdadeira ou falsa:
 a) Todo tringulo escaleno  issceles.
 b) Todo tringulo equiltero  issceles.
 c) Todo tringulo issceles  equiltero.
<p>
 d) Um tringulo equiltero pode ser escaleno.
 e) Um tringulo issceles pode ser equiltero.
 f) Alguns tringulos issceles no so equilteros.
<R->

Simetrias e propriedades dos
  quadrilteros

  No item anterior, foram definidos os quadrilteros mais comuns. Vamos ampliar seus conhecimentos sobre esses quadrilteros, examinando as simetrias que eles mostram.

 Simetrias

  A simetria axial  o tipo mais conhecido de simetria. A palavra axial vem de *axis*, que significa eixo, em Latim. Por isso mesmo, 
reconhecemos essa simetria pela presena de um eixo de simetria.
<p>
<F->
             U
            ipe
           i l  e
          i  l    e
         i   l      e  
        i    l        e  
       i     l          e
 :::::i::::::h::::::::::::e:::: e 
   L e      l            i I
       e     l          i  
        e    l        i
         e   l      i
          e  l    i
           e l  i
            eli
             S
<F+>

<R+>
 O quadriltero {l{u{i{s tem eixo de simetria *e*. O simtrico de {l{u{i{s em relao ao eixo  o prprio {l{u{i{s, porque os pontos 
L e I so simtricos deles mesmos, U  simtrico de S, e vice-versa. Nesse caso, tambm 
<p>
  se diz que o eixo da simetria  a *mediatriz* do segmento de reta {s{u.
 
 Procure no dicionrio: mediatriz.

_`[{figura de uma borboleta, no adaptada, seguida por sua legenda_`]
 Legenda: Nesse caso, o eixo de simetria  representado pela linha vermelha na borda do espelho que toca a foto.
<R->

<116>
  H outro tipo de simetria que voc conhece: a simetria de rotao. Ela  fcil de reconhecer nos exemplos a seguir.

<R+>
_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Estgio larval da estrela-do-mar (fotografia colorizada artificialmente e ampliada 10 vezes). Aqui temos uma simetria de 
rotao de 72, a mesma que aparece no pentgono _`[no adaptado_`].
 Legenda 2: Aps o giro de 72, onde cair o vrtice E? Um pentgono regular tem simetria de rotao de 72, com centro O. Se ele 
gira 72, o vrtice A cai em B, que cai em C, e assim por diante. O simtrico do pentgono por essa rotao  o prprio pentgono.
<R->

  A simetria de rotao de 180  muito comum e recebe um nome especial: simetria central. Se uma figura gira 180 em torno de um centro, ela origina a figura simtrica em relao a esse centro.
  Na figura _`[no adaptada_`], desenhamos o simtrico do segmento de reta {a{b em relao ao ponto O.
  Observe que:
<R+>
  {a{b e o simtrico AB so paralelos.
  Se A gira 180, cai sobre o simtrico A.
  Por isso, {a{a  dimetro de uma semicircunferncia de centro O. {a{o e AO so raios dessa semicircunferncia.
  Da mesma forma, {b{b  dimetro de uma outra semicircunferncia de centro O.
<R->
  Agora, veja dois exemplos de simetria central em que o simtrico de uma figura  ela mesma.

<R+>
_`[{duas figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: *Plane-filling 
  Motif with Reptiles*, 1941,  uma xilogravura do artista holands M. C. Escher, que explorou muito as 
simetrias em suas obras. Note que um giro de 180 em torno do centro mostra o mesmo desenho, embora mude a posio das cores.
 Legenda 2: O losango {l{i{m{a tem simetria central de centro O. Os vrtices L e M so simtricos em relao a O, assim como I e A. 
Se o losango girar 180 em torno de O, cair sobre si mesmo.
<R->

<117>
 Simetrias e propriedades dos
  quadrilteros

  Algumas vezes, dizemos que uma figura  simtrica de uma outra. Outras vezes, dizemos que uma figura tem simetria. Nesse caso, a 
simtrica da figura  ela mesma. Por exemplo, mostramos o quadriltero {l{u{i{s e o losango {l{i{m{a _`[no adaptado_`], que so simtricos deles mesmos. 
So essas simetrias que nos permitem perceber algumas propriedades dos quadrilteros.

 Losangos

  Nos losangos, prolongando as diagonais temos dois eixos de simetria.

_`[{figura no adaptada_`]

  Veja algumas concluses que podemos tirar desse fato.
<p>
<R+>
  Por ser eixo de simetria, {a{c  mediatriz do segmento de reta {b{d (porque B e D so pontos simtricos). Portanto, a reta {a{c  perpendicular  reta {b{d e, em particular, as duas diagonais so perpendiculares.
  O eixo {a{c divide os ngulos :A e :C ao meio. Mais exatamente, dizemos que a semirreta {a{c  *bissetriz* de :A e a semirreta {c{a  bissetriz de :C. Da mesma forma, a semirreta {b{d  bissetriz de :B e a semirreta {d{b  bissetriz de :D.
<R->

 Procure no dicionrio: bissetriz.

  A figura _`[no adaptada_`] resume algumas das concluses obtidas. Observe o cdigo _`[no adaptado_`] para indicar ngulos iguais.
  Tudo o que conclumos para o losango vale tambm para um quadrado, porque todo quadrado  losango, certo? Entretanto, essas propriedades no valem para os re-
<p>
tngulos que no so quadrados, porque as retas das diagonais no so eixos de simetria.

 Paralelogramos

  Um paralelogramo que no seja retngulo nem losango tem um nico tipo de simetria: a central.
  Por isso, conclumos:
<R+>
  No paralelogramo {a{b{c{d 
  _`[no adaptado_`], as diagonais se cortam ao meio, isto , os segmentos {a{o e {o{c tm mesma medida. (Porque {a{c  dimetro de 
uma semicircunferncia de centro O, certo?)
<R->
<118>
  Tambm tm medidas iguais os segmentos {b{o e {o{d.
  A propriedade das diagonais de se cortarem no ponto mdio vale para retngulos, losangos e quadrados, que so todos paralelogramos. 
Veja, porm, que as diagonais dos paralelogramos no costumam ter uma mesma medida.

<R+>
 Conversando sobre o texto

_`[{para a atividade e), pea orientao ao professor_`]

 a) Explique, com suas palavras, o que  simetria axial, simetria de rotao e simetria central.
 b) O que  a mediatriz de um segmento de reta?
 c) Se um tringulo tem um eixo de simetria, que tipo de tringulo ele ?
 d) Se um tringulo tem trs eixos de simetria, que tipo de tringulo ele ?
 e) Localize, no texto, a ilustrao do pentgono que gira. Diga para onde vai o ponto E aps um giro de 72.
 f) Um quadrado tem simetria de rotao. De quantos graus  essa simetria e onde se localiza o centro de simetria?
 g) Cite duas propriedades dos quadrados que os losangos, em geral, no tm.
<p>
 Problemas e exerccios

_`[{para as atividades de 56 a 60, pea orientao ao professor_`]

 56. Logomarcas so desenhos que identificam uma marca comercial ou uma instituio. No desenho _`[no adaptado_`], nem todas as logomarcas 
tm simetria. Aponte as que tm, e identifique o tipo de simetria que apresentam.

<119>
 57. Observe esta planta _`[no adaptada_`] de um colgio estadual da cidade de So Carlos -- SP, construdo em 1913.

_`[{duas fotos descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Planta da Escola Normal de So Carlos, elaborada na poca da construo dessa escola.
 Legenda 2: Escola Normal de So Carlos, em 2009.

 a) Que tipo de simetria voc encontra na planta?
 b) Esse colgio foi construdo em uma poca em que meninas e meninos sempre estudavam separados. Que relao voc nota entre essa regra e a simetria da planta?

 58. Examine os quadrilteros e responda s questes:

_`[{quadrilteros: paralelogramo, trapzio, retngulo, losango e quadrado_`]

 a) Em quais desses quadrilteros o ponto O  centro de simetria?
 b) Em quais desses quadrilteros o ponto O divide cada diagonal em duas partes iguais?
 c) Em quais desses quadrilteros h eixos de simetria que contm o ponto O e so perpendiculares a algum lado?
 d) Quais dos quadrilteros tm diagonais de mesmo comprimento?
<p>
 e) Quais tm simetria de rotao para um ngulo diferente de 180?

 59. Determine as medidas dos ngulos assinalados nos quadrilteros.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 a) O quadriltero  um losango.
 b) O quadriltero  um retngulo.

 60. Considere um paralelogramo {a{b{c{d, no qual O  o ponto de cruzamento das diagonais, {b{c mede 6 cm, {b{d mede 10 cm e {a{c mede 8 cm.
 a) Faa um desenho  mo livre dessa figura e indique as medidas dadas.
 b) Determine o permetro do tringulo {a{o{d.
<p>
 61. No losango {a{t{u{m, as diagonais se cortam no ponto O. Sabendo que seu permetro  52 cm e que as diagonais medem 10 cm e 24 cm, 
encontre o permetro do tringulo {a{t{o.

<120>
 Problemas e exerccios para casa

_`[{para as atividades de 62 a 68, pea orientao ao professor_`]

 62. Observe a faixa decorativa _`[no adaptada_`]. Este tipo de desenho serve para decorar bordas de paredes, superfcies ladrilhadas etc.
  Esta faixa pode ser construda assim.
  Crie um padro e construa uma faixa decorativa com simetria axial. Use papel quadriculado.
 63. Observe a construo de outra faixa decorativa _`[no adaptada_`].
<p>
  Crie um padro e construa uma faixa decorativa com simetria central. Use papel quadriculado.

<121>
 64. A figura _`[no adaptada_`] mostra um trapzio issceles {a{d={b{c.
  Mea com a rgua e verifique quais das propriedades seguintes so vlidas:
 a) As duas diagonais tm mesmo comprimento.
 b) As duas diagonais se cortam no ponto mdio de ambas.
 c) O tringulo {a{b{o  issceles.
 d) O tringulo {b{o{c  issceles.

 65. No losango da figura _`[no adaptada_`], suponha que: {a{c=6 cm, {b{d=8 cm e {a{b=5 cm. Determine o permetro do tringulo {d{o{a.
<p>
 66. O quadriltero da figura
   _`[no adaptada_`] chama-se pipa e tem um eixo de simetria *e*. Essa simetria permite responder s questes abaixo.
 a) Os lados {a{b e {b{c so iguais?
 b) De que tipo  o tringulo {d{a{c?
 c) A diagonal {a{c  perpendicular a diagonal {d{b?
 d) O ponto de encontro das diagonais  centro de simetria desse quadriltero? 

 67. Determine quais das afirmaes so corretas:
 a) Se as diagonais de um quadriltero tm mesmo comprimento, ento o quadriltero  necessariamente um retngulo.
 b) Em todo paralelogramo, as diagonais se cortam em seus pontos mdios.
 c) Se um paralelogramo no  um retngulo, ento suas diagonais no so *congruentes*.
<p>
 d) Em todo losango, as bissetrizes dos ngulos internos contm as diagonais.

 Procure no dicionrio: congruente.

 68. Este  para pensar um pouco.
  Num retngulo {a{b{c{d _`[no adaptado_`], marque os pontos mdios dos lados: M, N, P, Q. Devido s simetrias do retngulo, 
conclumos que o quadriltero {m{n{p{q  um losango, certo?
  Trace agora os eixos de simetria do losango e a diagonal {b{d do retngulo.
  Considere que o comprimento de {b{d  *x* cm e descubra o permetro do losango {m{n{p{q. Explique seu raciocnio, usando as 
propriedades das diagonais do retngulo. *Dica*: observe as diagonais do pequeno retngulo {m{b{n{o.
<R->

<122>
<p>
 Confira!

  Ao final deste captulo, esperamos que voc tenha aprendido a:
<R+>
  calcular medidas de ngulos em configuraes com retas concorrentes ou retas paralelas e transversais;
  calcular a soma da medida dos ngulos internos dos polgonos;
  calcular medidas de ngulos em polgonos (incluindo tringulos e quadrilteros especficos);
  explicar como se obtm a soma das medidas dos ngulos em qualquer tringulo e em qualquer polgono;
  explicar o que  um teorema;
  enunciar as definies dos quadrilteros notveis e suas propriedades principais, incluindo as relativas  simetria.
<R->
<p>
 Um toque a mais

<R+>
 Quadrados, crculos e 
  tringulos -- A arte de Luiz 
  Sacilotto (1)
<R->

  O texto que voc vai ler a seguir  uma adaptao de duas reportagens publicadas nos jornais *O Estado de So Paulo* e *Folha de So 
Paulo*:

  H muitos anos o artista plstico Luiz Sacilotto sonha em imagens geomtricas: crculos, 
::::::::::::::::::::::::::::::::::
<F->
<R+>
    (1) O texto  uma adaptao de reportagens sobre o artista, publicadas nos jornais *O Estado de So Paulo*, 12/4/
  /2001, Caderno 2, p. D9, e *Folha de So Paulo*, 11/4/2001, Ilustrada, p. E8. As reportagens so assinadas, respectivamente, por Ana Weiss e Fbio Cypriano.
<R->
<F+>
<p>
quadrados, tringulos. Elas so os elementos bsicos de seus quadros e esculturas concretistas, movimento que ajudou a fundar na dcada de 50. Geometria  a minha paixo, diz o artista em seu ateli em Santo Andr.
  Sacilotto foi um dos desbravadores da arte abstrata no pas. O segredo  simples: eu ia  Biblioteca Municipal com meus colegas ouvir msica e passei rapidamente dos clssicos -- Bach, Mozart e Beethoven -- para os modernos, como Schnberg e Mahler, conta.
  Essa talvez seja a primeira influncia do concretismo que viria a aparecer muitos anos depois no meu trabalho, reflete 
 Sacilotto [...]

<123>
<R+>
_`[{trs figuras descritas por suas legendas_`]
 Legenda 1: Luiz Sacilotto em seu ateli, Santo Andr, SP, 2002.
<p>
 Legenda 2: *Concreo 9213*, de 1992, 110110 cm.
 Legenda 3: *Concreo 9772*, de 1997, 9090 cm, obras de Luiz Sacilotto.
<R->

 Itinerncia de um artista

  Luiz Sacilotto nasce em 24/4/1924, em Santo Andr.
  *De 1938 a 1943*, estuda no Instituto Profissional do Brs, em So Paulo.
  *Em 1946*, faz sua primeira exposio Quatro Novssimos, com Marcelo Grassmann, Otvio Arajo e Luiz Andreatini, no Instituto dos Arquitetos do Brasil, no Rio.
  *Em 1947*, expe na galeria Prestes Maia, em So Paulo. Suas obras tm grande influncia do expressionismo alemo, como a tela 
*Figura*, 5044,5 cm _`[no adaptada_`], pintada por Luiz 
 Sacilotto nesse mesmo ano.
<124>
<p>
  *Em 1948*, suas obras j ganham contornos abstrato-geomtricos, como a tela *Composio*, 2441 cm _`[no adaptada_`].
  *Em 1952*, Sacilotto representa o Brasil na 26 Bienal de Veneza, na Itlia, quando suas obras j so marcadas pelo geometrismo, como na tela *Vibraes Verticais*, 4053 cm _`[no adaptada_`], desse mesmo ano.
  Na dcada de 1980, o artista j  um dos grandes representantes do concretismo brasileiro, que tambm tem influncia da op-arte (arte ptica), como na tela *Concreo 8.103*, 8080 cm _`[no adaptada_`], pintada em 1981.
  Sacilotto nunca viveu exclusivamente de sua pintura, apesar de sua importncia na histria da arte brasileira. S em bienais, participou de cinco, alm de ter realizado mostras no exterior. Mesmo assim, trabalhou at 1978, quando se aposentou como desenhista de esquadrias metlicas. Entre suas tarefas, projetou as janelas dos edifcios de Braslia.
  Nascido em Santo Andr -- na mesma rua em que vive at hoje (2) -- Sacilotto cresceu ouvindo os apitos das fbricas que ocuparam esse que  um dos principais coraes industriais do pas a partir das primeiras dcadas do sculo. De maneira inconsciente, adventos como a exploso da indstria do automvel influenciaram definitivamente minha produo.
  A sistematizao do movimento, a repetio e os jogos pticos que marcam as fases clebres do pintor paulista so intimamente ligadas s mudanas dos meios de produo brasileiros. O primeiro emprego de Sacilotto foi o de desenhista de letras de cartes, na 
::::::::::::::::::::::::::::::::::
<F->
<R+>
    (2) Quando esse texto foi escrito, o artista ainda no havia falecido, o que ocorreu em 2003.
<R->
<F+>
<p>
 Olerite, empresa que viria a ser a IBM. Trata-se da primeira firma a ter computadores no 
 Brasil. Ao todo, recorda-se o pintor, eram trs mquinas. Isso tudo so informaes que se somaram na criao das linguagens concretas.

  Muitas pessoas acham que Matemtica se reduz a nmeros e clculos. Luiz Sacilotto no pensa assim. Os crticos de arte que incentivaram seu trabalho tambm no. Eles se referiam  musicalidade matemtica da obra do artista. Os jornalistas, cujas reportagens aproveitamos neste texto, tambm percebem que existe Matemtica nos padres e formas geomtricas do artista. Alis, a jornalista deu  sua matria, 
<p>
publicada no jornal *O Estado de So Paulo*, o seguinte ttulo: *SP festeja a Matemtica de olhar de Luiz Sacilotto*.

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte